Title: Mathématiques-PTSI / Relation d'ordre

Q: [latex]Relation binaire sur $E$.[/latex]
A: [latex]Un prédicat $\mathscr{R}$ dépendant de deux variables $x$ et $y$ dans $E$. Cela définit une propriété qu'ont entre eux certains éléments de $E$.[/latex]

Q: [latex]Définition d'une relation réflexive[/latex]
A: [latex] $ \forall x \in E$, $x\mathscr{R}x$.[/latex]

Q: [latex]Définition d'une relation symétrique[/latex]
A: [latex] $ \forall (x,y)\in E^2$, $x\mathscr{R}y\implies y\mathscr{R}x $ [/latex]

Q: [latex]Définition d'une relation antisymétrique[/latex]
A: [latex] $\forall (x,y)\in E^2$, $(x\mathscr{R}y$ et $y\mathscr{R}x)\implies y=x$ [/latex]

Q: [latex]Définition d'une relation transitive[/latex]
A: [latex] $ \forall (x,y,z)\in E^3$, $(x\mathscr{R}y$ et $y\mathscr{R}z)\implies x\mathscr{R}z $ [/latex]

Q: [latex]Définition d'une relation d'ordre[/latex]
A: [latex]Une relation binaire, réflexive, transitive et antisymétrique.[/latex]

Q: [latex]Définition de relation d'ordre total[/latex]
A: [latex]Une relation d'ordre qui vérifie $\forall x \in E$, $\forall y \in E$, $x\mathscr{R}y$ ou $y\mathscr{R}x$ [/latex]

Q: [latex]Citer les formes indeterminées[/latex]
A: [latex] Il y en a 4 : $+\infty+(-\infty)$, $\pm\infty\times 0$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ et $\frac{0}{0}$ [/latex]

Q: [latex]Soit $x\in \mathbb{R}$. Définition de valeur absolue de $x$ [/latex]
A: [latex]Le nombre réel défini par $\abs{x}=max(-x,x)$ [/latex]

Q: [latex]Inégalité triangulaire dans $\mathbb{R}$ [/latex]
A: [latex] $ \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2, \, \abs{\abs{x}-\abs{y} } \leq \abs{x\pm y}\leq \abs{x}+\abs{y} $ [/latex]

Q: [latex]Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. Définition de $A$ est minorée.[/latex]
A: [latex]Il existe un élément $M\in \mathbb{R}$, tel que pour tout $a\in A$, $M\leq a$ [/latex]

Q: [latex]Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. Définition de $A$ est majorée. [/latex]
A: [latex]Il existe un élément $M\in \mathbb{R}$, tel que pour tout $a\in A$, $a\leq M$ [/latex]

Q: [latex]Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. Définition de $A$ est bornée. [/latex]
A: [latex] $A$ est à la fois majorée et minorée.[/latex]

Q: [latex] Définition du plus grand élément d'un ensemble $A$.[/latex]
A: [latex] Il n'existe pas toujours ! S'il existe un élément $x\in \mathbb{R}$ tel que $x\in A$ \textbf{et} $x$ est un majorant de $A$, alors $x$ est appelé \emph{plus grand élément ou maximum}. On note $x=\max(A)$.[/latex]

Q: [latex] Définition du plus petit élément d'un ensemble $A$.[/latex]
A: [latex] Il n'existe pas toujours ! S'il existe un élément $x\in \mathbb{R}$ tel que $x\in A$ \textbf{et} $x$ est un minorant de $A$, alors $x$ est appelé \emph{plus petit élément ou minimum}. On note $x=\min(A)$. [/latex]

Q: [latex] Méthode pour montrer que $M$ est le maximum de $A$.[/latex]
A: [latex] On montre que
\begin{enumerate}
\item $M$ majore $A$ : $\forall a \in A$, $a\leq M$
\item $M\in A$.
\end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Méthode pour montrer que $m$ est le minimum de $A$.[/latex]
A: [latex] On montre que
\begin{enumerate}
\item $m$ minore $A$ : $\forall a \in A$, $m\leq a$
\item $m\in A$.
\end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Définition de la borne supérieure d'un ensemble $A$ [/latex]
A: [latex] N'existe pas toujours ! S'il existe, le plus petit élément de l'ensemble des majorants de $A$ est appelé la \emph{borne supérieure} de $A$, et noté $\sup A$. [/latex]

Q: [latex] Définition de la borne inférieure d'un ensemble $A$ [/latex]
A: [latex] N'existe pas toujours ! S'il existe, le plus grand élément de l'ensemble des minorants de $A$ est appelé la \emph{borne inférieure} de $A$, et noté $\inf A$.[/latex]

Q: [latex] Méthode pour montrer que $S$ est la borne supérieure de $A$.[/latex]
A: [latex] On montre que
\begin{enumerate}
\item $S$ majore $A$ : $\forall a\in A$, $a\leq S$
\item $S$ est le plus petit des majorants : pour tout réel $M$, si $M$ majore $A$, alors on a $S\leq M$. (ou sa contraposée.)
\end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Méthode pour montrer que $I$ est la borne inférieure de $A$.[/latex]
A: [latex] On montre que
\begin{enumerate}
\item $I$ minore $A$ : $\forall a\in A$, $I\leq a$
\item $I$ est le plus grand des minorants : pour tout réel $m$, si $m$ minore $A$, alors on a $m\leq I$. (ou sa contraposée.)
\end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Condition suffisante pour l'existence de la borne supérieure.[/latex]
A: [latex] Si $A$ possède un plus grand élément, alors $A$ possède une borne supérieure et $\sup(A)=\max(A)$ [/latex]

Q: [latex] Condition suffisante pour l'existence de la borne inférieure.[/latex]
A: [latex] Si $A$ possède un plus petit élément, alors $A$ possède une borne inférieure et $\inf(A)=\min(A)$ [/latex]

Q: [latex] Toute partie non vide majorée de $\mathbb{R}$...[/latex]
A: [latex] admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$ [/latex]

Q: [latex] Toute partie non vide minorée de $\mathbb{R}$... [/latex]
A: [latex] admet une borne inférieure dans $\mathbb{R}$.[/latex]

Q: [latex] Définition d'un intervalle de $\mathbb{R}$ [/latex]
A: [latex] $I$ est une partie de $\mathbb{R}$ et pour tout $(u,v)\in I^2$ et pour tout $t\in \mathbb{R}$, on a $u\leq t \leq v \implies t\in I$ [/latex]

Q: [latex] Partie entière d'un réel $x$.[/latex]
A: [latex] L'unique entier $\lfloor x \rfloor$ tel que $\lfloor x \rfloor \leq x \textcolor{red}{<} \lfloor x \rfloor +1 $ [/latex]

Q: [latex] Méthode pour montrer que $v$ est la partie entière de $x$.[/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
\item $v\in \mathbb{Z}$
\item $v\leq x$
\item $x<v+1$ (c'est le plus grand)
\end{itemize} [/latex]